Unos años atrás tuve la oportunidad de llevar un curso de teoría de control clásico, sin embargo no aprendí nada, en parte por mi culpa y en parte porque reasignaron a nuestro docente varias veces a lo largo del curso. La teoría de control la considero una de las ramas de las matemáticas más útiles en la actualidad, por lo menos los trabajos de ingeniería que he realizado involucran matemáticas un poco más sofisticadas al momento de intentar controlar sistemas mecánicos un poco más complejos. Es por esto que no quiero olvidar lo fundamental de esta rama. Si bien es un problema básico que incluso podría considerarse un problema clásico en la teoría de las ecuaciones diferenciales, podría ser de utilidad su análisis para futura referencia.
El problema #
- a) Encontrar la velocidad final de un auto de 1,000 kg con fuerza de 500 N y tomando en cuenta la fricción que existe entre las llantas y el suelo de 50 \(\frac{N \cdot m}{s}\).
- b) Encontrar el tienmpo que el auto alcanzó su velocidad constante.
- c) Graficar la función \(v(t)\)
Solución #
a) Velocidad final #
Asumimos las condiciones iniciales del auto como cero. utilizando la segunda ley de Newton podemos expresar el sistema dinámico en forma de ecuación diferencial:
$$ \begin{equation} \sum_i F_i = ma \end{equation} $$
$$ \begin{equation} m(t)\frac{d}{dt} v(t) = F(t) - \mu v(t) \end{equation} $$
Dado que la masa del sistema se mantiene constante y la fuerza de 500 N la podemos considerar como una constante aplicada al sistema cuando \( t \geq 0\), nuestra ecuación diferencial se reduce a
$$ \begin{equation} m \frac{d}{dt} v(t) = F \cdot \mathscr{U}(t) - \mu v(t) \end{equation} $$
Donde \(\mathscr{U}(t)\) es la función de escalón de Heaviside. Aplicando la transformada de Laplace obtenemos la siguiente ecuación:
$$ \begin{equation} \mathscr{L}\{f(t)\} \Rightarrow MsV(s) = \frac{F}{s} - \mu V(s) \end{equation} $$
Despejando a \( \frac{V(s)}{\mathscr{U}(s)} \) para obtener nuestra función de transferencia obtenemos:
$$ \begin{equation} \boxed{\frac{V(s)}{\mathscr{U}(s)} \Rightarrow sV(s) = \frac{F}{Ms + \mu}} \end{equation} $$
Sin embargo, para encontrar \(v(t)\) cuando \(t \rightarrow \infty\) debemos de despejar \(V(s)\) y aplicar la integral de Bromwich para obtener nuestro sistema en el dominio del tiempo.
$$ \begin{equation} V(s) = \frac{F}{Ms^2 + \mu s} \end{equation} $$
$$ \begin{equation} \mathscr{L}^{-1} \{ V(s) \} = \frac{1}{2 \pi i} \int^{\gamma + i \infty}_{\gamma - i \infty} e^{st} V(s) ds \end{equation} $$
$$ \begin{equation} \mathscr{L}^{-1} \{V(s)\} = F\Bigg( \frac{1}{\mu} - \frac{e^{\frac{-\mu t}{M}}}{\mu} \Bigg) \end{equation} $$
Y para nuestro sistema en particular:
$$ \begin{equation} \mathscr{L}^{-1} \{V(s)\} = 500 \bigg( \frac{1}{50} - \frac{e^{\frac{- t}{20}}}{50} \bigg) \end{equation} $$
Por tanto, si dejamos que \( t \rightarrow \infty\), la velocidad que experimentará el automóvil será:
$$ \begin{equation} v(t \rightarrow \infty) = 500 \Bigg( \frac{1}{50} - 0\Bigg) \end{equation} $$
$$ \begin{equation} \boxed{v(t \rightarrow \infty) = \frac{500}{50} = 10\ m/s} \end{equation} $$
b) Tiempo para velocidad constante #
El tiempo para el cual se considera que el transitorio ha terminado es de \( 5 \tau\) y dado que \(\tau = 20\), podemos asumir que el tiempo que tarda en llegar a la velocidad final es de 100 s. Realizando el cálculo en este tiempo observamos que la velocidad para \( t = 100\ s\) es bastante aproximada a \(10\ m/s\).
$$ \begin{equation} v(100\ s) = 500 \bigg( \frac{1}{50} - \frac{e^{\frac{-100}{20}}}{50} \bigg) \approx 9.9326\ m/s \end{equation} $$
c) Gráfica de la functión \(v(t)\) #
La expresión encontrada anteriormente (eq. 9) resulta muy sencilla de graficar. Es posible hacerlo mediante distintos lenguajes de programación. En este caso se muestra el código de un script en MATLAB/GNU Octave.
transitorio.m
t = 0:1:500;
v = 500*((1/50) - (exp(-t/20)/50));
plot(t,v)
